\(\def\@#1{\mathscr{#1}} \def\!#1{\mathtt{#1}} \newcommand\Hom{\operatorname{Hom}} \newcommand\Nat{\operatorname{Nat}} \newcommand{\op}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\Set}{\textbf{Set}} \newcommand{\id}{\op{id}} \)
前情提要
上次我们说到，$\lim D$ 是一个具有某种 universal property 的对象。然后，我们证明了其存在，当且仅当存在 $\Hom(-, d)$ 到 $\Nat(\Delta_{(-)}, D)$ 的自然同构。最后，我们发现这个 universal property 与 Yoneda Lemma 的交换图有一些相像。这是巧合，还是有某种更深的规律呢？
范性质
范畴论里常常会遇到一些 universal 的性质，翻译过来叫做「泛性质」。如果要给范性质下一个定义，那就是
一对象具有某种范性质是指：某个特定范畴里的 initial/terminal object，即 始对象/终对象
例如，在上回的例子里，固定一个函子 $D$，所有以 $D$ 为底的 cone 构成一个范畴，其中态射就是 $C$ 中的态射，但要使自然同构某种意义上交换。那么 $\lim D$ 就是这个范畴的 initial object。
然而，我们又遇到过另一种范性质，是可表函子带来的。
如果一个函子 $F \in \Hom(C, \Set)$ 同构于 $\Hom(c, -)$，其中 $c$ 是 $C$ 里的对象，就称 $F$ 是可表函子（representable functor），$c$ 是 $F$ 的一个表示对象（representing object）。 当 $c$ 表示了某个函子 $F \cong \Hom(c, -)$ 时，我们会说 $F$ 描述了 $c$ 具有的范性质。
例如群范畴上的遗忘函子 $U: \textbf{Group} \to \Set$ 是由单元素生成的自由群 $\mathbb Z$ 表示的，即 $U \cong \Hom(\mathbb Z, -)$，那么 $\mathbb Z$ 的范性质就是能够选择出一个元素（这正是 $U$ 做到的）。
再例如，固定一个 $n$，（逆变）函子 $n\text{-Color}: \textbf{Graph}^{\op{op}} \to \Set$ 把一个图映射到其上的所有 $n$ 染色的方案集合，其中染色要求每条边的两个定点颜色不同。这个函子被完全图 $K_n$ 所表示，因为给一个图 $n$ 染色，等价于给出其到 $K_n$ 的一个图同态。所以 $K_n$ 的范性质便是决定了 $n$ 染色。
自然的问题是，initial/terminal object 描述的范性质，与可表函子描述的范性质，是一回事吗？
一方面
$c$ 是 $C$ 的 initial object，等价于 constant functor ${*}: C\to\Set$ 的表示对象是 $c$，其中 $*$ 把所有对象都映射到单元集 ${*}$。terminal object 同理。
另一方面
实际上，对象 $c$ 若能表示某个函子 $F$，那么在某个特殊的范畴下，它就是 initial/terminal object（相对应的是协变与逆变函子）。换句话说，函子 $F$ 可表，等价于在这个特殊范畴里存在 initial/terminal object。这个特殊范畴是什么呢？这就引入了今天的主角：the category of elements。
对一个函子 $F: C \to \Set$，它的元素范畴（category of elements） $\int F$ 是由
- $(c, x)$ 作为对象，其中 $c \in C$ 且 $x \in F c$
- $(c, x) \to (c', x')$ 的态射是 $f \in C(c, c')$，使得 $x' = (F f)(x)$
组成。态射的复合是不言自明的。这个范畴有显然的遗忘函子 $\Pi : \int F \to C$，即取对象的第一个分量。
元素范畴可以看作某种不交并，即其中的对象“集合”可以看作 $\sqcup_{c\in C} F c$，也就是“$F$ 作用下得到的所有元素构成的范畴”。
我们声称：$F$ 可表，当且仅当 $\int F$ 里存在 initial object。
(⇒) 设 $F$ 可表，即存在 $c \in C, F \cong \Hom(c, -)$，那么 $\int F \cong \int \Hom(c, -) \cong c/C$，其中 $c/C$ 是 slice category。而 $\text{id}_c$ 即是这个范畴的始对象。
(⇐) 设 $(c, x)$ 是 $\int F$ 的始对象。我们希望给出一个自然同构 $\eta: \Hom(c, -) ⇒ F$。然而由米田引理，这等价于找一个 $x \in F c$，使得 $\eta_{c'}: \Hom(c, c') \to F c', f \mapsto (F f)(x)$ 是双射。可是 $(c, x)$ 是 $\int F$ 的始对象，这意味着 $\eta$ 的确是自然同构。实际上，$(c, x)$ 是 $\int F$ 的始对象这个条件的意思就是说，由 $c$ 出发的每一个态射都可以唯一对应 $\int F$ 里的元素。
现在我们知道了，可表函子和始对象都可以用来描述范性质，并且他们某种意义上是等价的。
书接上回
我们在猫论其三里一通操作证明了，\(D\) 存在极限 \(d = \lim D\) ，当且仅当，存在 \(\Hom(-, d)\) 到 \(\Nat(\Delta_{(-)}, D)\) 的自然同构。有了可表函子的知识，我们就可以很容易地解释这个命题。
函子 $\Nat(\Delta_{(-)}, D): C^{\op{op}} \to \Set$ 实际上把一个 $c \in C$ 映射到了以 $c$ 为顶点的 cone 的集合。那么 $\int \Nat(\Delta_{(-)}, D)$ 就是所有 cone 作为对象构成的范畴，我们要找的 universal cone 即为这个范畴的终对象（这个函子是逆变的，所以对应的是终对象而非始对象）。然而由前一个命题，元素范畴存在终对象等价于函子可表，也就是存在 $\Hom(-, d)$ 到 $\Nat(\Delta_{(-)}, D)$ 的自然同构。这也解释了为什么 $\lim D$ 在同构意义下唯一——因为 terminal object 如此。
后记
Category Theory in Context 的确是一本讲得很细的很扎实的范畴论教材，让我补充了很多之前没有领悟的细节。也是从这个例子里，可以感受到 Yoneda Lemma 被称为“the fundamental result in category theory”的原因。